หมายเหตุ : เนื้อหาส่วนใหญ่ในส่วนนี้ถือตาม[1] ซึ่งมีการอ้างอิงถึงเอกสารดั้งเดิมอย่างละเอียด และเนื้อหาอาจมีความแตกต่างจากแหล่งอื่น

อนุกรมฟูรีเย และบทความปี ค.ศ. 1807

ทฤษฎีการแปลงฟูรีเย มีจุดเริ่มต้นจากบทความของ ฟูรีเย ที่เขียนในปี ค.ศ. 1807 (ถูกปฏิเสธ) กับ ค.ศ. 1811 (ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1824 และ ค.ศ. 1826) และ หนังสือ ทฤษฎีการวิเคราะห์ความร้อน ในปีค.ศ. 1822

เริ่มต้นจาก ฟูรีเย ได้ส่งบทความวิชาการของเขาในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ไปยัง สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ในวันที่ 21 ธันวาคม ค.ศ. 1807 ซึ่งในขณะนั้น เดอลอมเบรอ เป็นเลขาธิการถาวร ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ และ คณิตศาสตร์ เดอลอมเบรอมอบหมายให้ลากรองจ์ ลาปลาส ลาครัวซ์ และมงจ์ เป็นกรรมการตรวจสอบบทความ โดยที่มงจ์ให้การสนับสนุน ส่วนลาปลาสและลาครัวซ์ก็ให้ความเห็นชอบ แต่ลากรองจ์ไม่ยอมรับแนวความคิดของฟูรีเย เป็นผลให้บทความของฟูรีเยนั้นถูกปฏิเสธรับเพื่อตีพิมพ์ มีเพียงแต่บทวิจารณ์ในงานของฟูรีเยโดย ปัวซง เท่านั้นที่ตีพิมพ์ออกเผยแพร่ ซึ่งบทวิจารณ์ของปัวซงก็ไม่ได้ให้ความสำคัญกับแนวความคิดของฟูรีเยแต่อย่างใด

หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล) ฟูรีเยนั้นเคยเรียนกับ ลากรองจ์ ลาปลาส และมงจ์ ที่ เอกอล นอร์มาล (วิทยาลัยครู) ในปี ค.ศ. 1795 ซึ่งเปิดสอนได้ไม่กี่เดือนก็ต้องปิดไป ฟูรีเยย้ายไปที่ เอกอล โปลีเทคนีค (วิทยาลัยโปลีเทคนิค) ซึ่งมงจ์เป็นผู้อำนวยการ แต่ไม่สามารถเข้าเป็นนักเรียนได้เนื่องจากมีอายุมากกว่าเกณฑ์คือ 20 ปี มงจ์จึงช่วยเหลือให้ฟูรีเยได้เป็นผู้ช่วยสอน

อุปสรรคจากลากรองจ์

เหตุผลในการตอบปฏิเสธบทความของฟูรีเย นั้นมีหลายจุด แต่หลักๆ นั้นไม่เห็นด้วยกับ อนุกรมฟูรีเย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติการลู่เข้า ของอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ หลังจากนั้นฟูรีเยได้ส่ง รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติการลู่เข้าไปหาลากรองจ์ และ ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1809 ได้ส่งเอกสารเพิ่มเติม เกี่ยวกับข้อกังขาต่างๆของกรรมการที่มีต่อบทความในปีค.ศ. 1807 ไปยัง สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส แต่บทความปีค.ศ. 1807 ก็ไม่ได้รับการตีพิมพ์

เบิร์นฮาร์ด รีมันน์ ได้กล่าวว่า เมื่อฟูรีเย ได้นำเสนอแนวความคิดของเขาในบทความ ปี ค.ศ. 1807 นั้น ผลลัพธ์เป็นที่น่าประหลาดใจมาก จนลากรองจ์ได้แสดงความเห็นว่าเป็นไปไม่ได้อย่างเด็ดขาด[2]

เหตุผลที่ลากรองจ์ ไม่เห็นด้วยกับบทความของฟูรีเย นั้นสามารถสืบย้อนกลับไปถึงปัญหาการสั่นของเชือก (wave equation) ดูบทความหลัก สมการคลื่น

∂ 2 y ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 y ∂ x 2 {\displaystyle {\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}=a^{2}{\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}}

ซึ่งผู้ที่ทำการศึกษาและหาคำตอบทั่วไปในยุคแรกๆ คือ ดาเลมแบร์ ออยเลอร์ และ ดาเนียล เบอร์นูลลี

ในปี ค.ศ. 1747 ดาเลมแบร์ ได้เสนอคำตอบในรูปฟังก์ชันนอล y ( x , t ) = f ( x + a t t ) + g ( x − a t ) {\displaystyle y(x,t)=f(x+att)+g(x-at)} และพิจารณาเงื่อนไขขอบ ถึงแม้ว่าฟังก์ชันในรูปที่ ดาเลมแบร์พิจารณานั้นมีรูปแบบทั่วไป แต่เขาก็ยึดติดกับรูปแบบของฟังก์ชันพีชคณิต ที่มีอนุพันธ์ ในปีถัดมา ค.ศ. 1748 ออยเลอร์ ได้ยกปัญหาของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ เสนอแนวความคิดของการกำหนดฟังก์ชัน บนโดเมนที่แบ่งออกเป็นส่วนๆ

การใช้อนุกรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นรูปแบบคำตอบสมการคลื่น นั้นถูกนำเสนอเป็นครั้งแรกโดย ดาเนียล เบอร์นูลลี ในปี ค.ศ. 1753 ในรูป

f ( x ) = α sin ⁡ π x l + β sin ⁡ π x l + ⋯ {\displaystyle f(x)=\alpha \sin {\pi x \over l}+\beta \sin {\pi x \over l}+\cdots }

แนวความคิดของดาเนียล เบอร์นูลลี ไม่ได้มาจากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ แต่มาจากคุณสมบัติทางกายภาพที่เห็นได้ชัด ของการซ้อนทับกันของการสั่นที่หลายความถี่

ในปีค.ศ. 1754 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ตั้งข้อโต้แย้งกับแนวความคิดการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติดังกล่าวของเบอร์นูลลี โดยได้บ่งชี้ถึงงานของเขา ในปี ค.ศ. 1748 ซึ่งได้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวอย่าง ออยเลอร์ได้ให้เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวความคิดของการใช้ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนฟังก์ชันใดๆ ไว้ว่า ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์จำนวนนับไม่ถ้วน ในอนุกรมจะให้ความยืดหยุ่น ในการใช้อนุกรมแทนฟังก์ชันทั่วไป แต่เนื่องจากคุณสมบัติ ความเป็นคาบ และ ความเป็นฟังก์ชันคี่ ของไซน์ นั้นทำให้การใช้อนุกรมนี้แทนฟังก์ชันใดๆ ที่ไม่มีคุณสมบัติดังกล่าวนั้นเป็นไปไม่ได้

ในปีค.ศ. 1859 ลากรองจ์ ได้เขียนบทความเกี่ยวกับปัญหาการสั่นของเชือกนี้ ลากรองจ์ยอมรับในหลักการทั่วไป และ รูปแบบคำตอบของออยเลอร์ แต่ลากรองจ์ได้นำเสนอวิธีการทำให้ได้มาซึ่งคำตอบ จากมุมมองที่แตกต่างจากออยเลอร์ ลากรองจ์ได้เสนอแบบจำลองวัตถุ n ชิ้น (n-body model) และหาคำตอบที่จำนวนวัตถุ n มีค่าเข้าสู่ อินฟินิตี้ ได้คำตอบในรูป

y = 2 l ∫ 0 l ∑ r = 1 ∞ sin ⁡ r π X l sin ⁡ r π x l cos ⁡ r π c t l Y ( X ) d X + 2 π c ∫ 0 l ∑ r = 1 ∞ sin ⁡ r π X l sin ⁡ r π x l sin ⁡ r π c t l V ( X ) d X {\displaystyle y={2 \over l}\int _{0}^{l}{\sum _{r=1}^{\infty }\sin {r\pi X \over l}\sin {r\pi x \over l}\cos {r\pi ct \over l}Y(X)}\,dX+{2 \over \pi c}\int _{0}^{l}{\sum _{r=1}^{\infty }\sin {r\pi X \over l}\sin {r\pi x \over l}\sin {r\pi ct \over l}V(X)}\,dX}

โดยที่ Y (x) คือ ตำแหน่งเริ่มต้นของเชือก และ V (x) คือความเร็วเริ่มต้น

สังเกตว่า สมการของลากรองจ์นี้ หากแทนค่า เวลา t = 0 จะได้อนุกรมฟูรีเย ถึงแม้ว่าจะสามารถหาอนุกรมฟูรีเยจากสมการของลากรองจ์ได้ แต่จุดประสงค์ของสมการนี้ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะนำไปสู่แนวความคิดนั้น โดยได้มีการตั้งข้อสังเกตการสลับตำแหน่งของ s {\displaystyle {\mathcal {s}}} และ Σ[1] โดยลากรองจ์นั้นสลับเอา Σไว้ภายในอินทิเกรต ซึ่งหากสมการอยู่ในรูปที่ขึ้นต้นด้วย ผลบวกจะทำให้อยู่ในรูปของอนุกรมอนันต์ ซึ่งบ่งชี้ถึงความไม่เห็นด้วยถึงหลักการเขียนแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนั้นแล้วยังมีข้อบ่งชี้ถึงความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดของลากรองจ์ในการหาคำตอบข้างต้น ซึ่งรูปคำตอบนั้นเป็นไปในแนวความคิดเดียวกับออยเลอร์ ผู้ซึ่งได้แสดงความไม่เห็นด้วยกับแนวความคิดของ ดาเนียล เบอร์นูลลี ในการใช้อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติในการแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยเหตุผลของ ความเป็นคาบ และความเป็นฟังก์ชันคี่ดังกล่าวข้างต้น ดังนั้นความไม่เห็นด้วยของลากรองจ์ต่อแนวความคิดของฟูรีเย ก็อาจจะมาจากพื้นฐานเดียวกัน

การแปลงฟูรีเย และ บทความปีค.ศ. 1811

ต่อมาสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ได้ตั้งปัญหารางวัลกรังปรีซ์คณิตศาสตร์สำหรับปีค.ศ. 1812 ในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ซึ่งฟูรีเยได้ส่งบทความ บันทึกเกี่ยวกับการแพร่กระจายของความร้อน ซึ่งเป็นบทความที่พัฒนาจากบทความปีค.ศ. 1807 ของเขา เข้าชิงรางวัลในปลายปีค.ศ. 1811 โดยมี ลากรองจ์ ลาปลัส และ อาเดรียน-มารี เลอจองเดรอ เป็นกรรมการตรวจสอบ ถึงแม้ว่าบทความของฟูรีเยจะชนะรางวัล แต่บทความของเขาก็โดนวิพากษ์วิจารณ์ ถึงวิธีการที่ใช้ในการวิเคราะห์และพิสูจน์ และถูกเก็บดองไว้ไม่ได้ตีพิมพ์ใน บันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ ในขณะนั้น

หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล) ในวัยเยาว์ ฟูรีเยได้เข้าเรียนที่โรงเรียนการทหารในเมืองของเขา โดยมี เลอจองเดรอ เป็นผู้อำนวยการโรงเรียน (ผู้ตรวจสอบ) ต่อมาเขาได้สมัครเข้าเรียนต่อที่โรงเรียนการวิศวกรรม และ ปีนใหญ่ โดยได้รับการสนับสนุนจาก เลอจองเดรอ แต่เขาถูกตอบปฏิเสธการรับเข้า

บทความของฟูรีเยในปีค.ศ. 1811 นั้นได้ขยายความจากอนุกรมอนันต์ ออกไปครอบคลุมถึงรูปปริพันธ์ ดูบทความหลัก การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ถึงแม้ว่าจะไม่มีข้อมูลเด่นชัดถึงแรงบันดาลใจที่ฟูรีเยขยายความจากอนุกรมไปสู่รูปปริพันธ์ได้อย่างไร ได้มีการตั้งข้อสันนิษฐานว่าอาจได้รับอิทธิพลมาจากลาปลัส[1] เนื่องจากในช่วงปีค.ศ. 1809 นั้นฟูรีเยได้มีการติดต่อกับลาปลัส ในเรื่องของปัญหาการแพร่ความร้อนที่เขาทำการศึกษา ซึ่งต่อมาลาปลัสได้นำเสนอคำตอบซึ่งอยู่ในรูปปริพันธ์ ถึงแม้ว่าจะมีแนวความคิดที่แตกต่างจากของฟูรีเย แต่ก็อาจจะเป็นจุดบันดาลใจให้ฟูรีเยได้คิด

ในปี ค.ศ. 1817 ออกุสตัง หลุยส์ โคชี ได้ตีพิมพ์บทความ ซึ่งมีการแปลงรูปปริพันธ์ของฟูรีเย ในบทความนั้นโคชี ได้กล่าวว่าเขาได้ค้นพบรูปคำตอบใหม่ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปปริพันธ์ ฟูรีเยได้ทำการทักท้วง ซึ่งส่งผลให้ในบทความถัดมาของโคชี ในปีค.ศ. 1818 มีข้อความแสดงการยอมรับถึงการค้นพบก่อนหน้าเขาโดยฟูรีเย มีการตั้งข้อสังเกตว่า เนื่องจากในปีค.ศ. 1816 นั้นโคชี ได้รับตำแหน่งที่ว่างลงใน ราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ ทำให้เขาอยู่ในตำแหน่งที่สามารถอ่านบทความในปีค.ศ. 1811 ของฟูรีเยซึ่งยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ได้ นอกจากนั้นในปีเดียวกันคือค.ศ. 1816 ฟูรีเยได้พิมพ์บทคัดย่อของหนังสือที่เขาจะเขียนออกในปีค.ศ. 1822 ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้มากที่ โคชีได้อ่านบทความของฟูรีเยมาแล้ว[1]

หลังจากที่ ลากรองจ์เสียชีวิตลงในปีค.ศ. 1813 เมื่อเดอลอมเบรอได้เสียชีวิตในปีค.ศ. 1824 ฟูรีเยได้รับเลือกให้ขึ้นดำรงตำแหน่งเลขาธิการถาวร ด้วยความคาใจฟูรีเยจึงได้ตีพิมพ์บทความในปีค.ศ. 1811 ของเขาซึ่งยังไม่ได้รับการตึพิมพ์ ในลักษณะดั้งเดิมโดยไม่มีการแก้ไข โดยแบ่งออกเป็น 2 ส่วนตีพิมพ์ใน บันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์แห่งสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ในปีค.ศ. 1824 และ ค.ศ. 1826

หลังจากนั้นในปีค.ศ. 1829 โยฮันน์ ปีเตอร์ กุสตาฟ เลอเจิน ดีริชเลต์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้แสดงบทพิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นที่รู้จักกว้างขวางในปัจจุบัน

ข้อโต้แย้งต่างๆ

• สมการของลากรองจ์: นักคณิตศาสตร์บางคน ได้แสดงความเห็นว่า ควรจะถือว่าลากรองจ์นั้นเป็นผู้ค้นพบแรกเนื่องจาก อนุกรมของฟูรีเย นั้นสามารถหาได้จากสมการของลากรองจ์ ดังแสดงข้างต้น
• วิธีการหาสัมประสิทธิ์ของอนุกรมตรีโกณมิติ : ฟูรีเยนั้นไม่ได้เป็นคนแรกที่คิดค้นวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ ของอนุกรมฟังก์ชันตริโกณมิติ บทความซึ่งเขียนโดย ออยเลอร์ ในปี ค.ศ. 1777 (ตีพิมพ์ ค.ศ. 1793) เขาได้ใช้วิธีในการหาค่าสัมประสิทธิ์ตัวที่ n ของอนุกรม

f ( x ) = a 0 + 2 a 1 cos ⁡ ( x ) + 2 a 2 cos ⁡ ( 2 x ) + … + 2 a n cos ⁡ ( n x ) + … {\displaystyle f(x)=a_{0}+2a_{1}\cos(x)+2a_{2}\cos(2x)+\ldots +2a_{n}\cos(nx)+\ldots } โดยวิธีคูณด้วย cos ⁡ n x {\displaystyle \cos nx} และอินทิเกรตทีละเทอม จาก 0 ถึง π ได้ a n = 1 π ∫ 0 π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x {\displaystyle a_{n}={1 \over \pi }\int _{0}^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx}

ถึงแม้ว่าทั้งสองจะได้นำเสนอรูปสมการที่เหมือน หรือ สามารถปรับให้เหมือนอนุกรมฟูรีเย ได้ แต่วิธีของทั้ง ลากรองจ์ และ ออยเลอร์ นั้นไม่ได้นำไปสู่ แนวความคิดของการแทนฟังก์ชันใดๆ ด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยิ่งไปกว่านั้นทั้งสองยังได้แสดงความคิดเห็นที่คัดค้านต่อแนวความคิดดังกล่าว สมการของลากรองจ์นั้นมีจุดประสงค์เพียงต้องการใช้ยืนยันผลคำตอบตามแนวความคิดของออยเลอร์ ส่วนวิธีการข้างต้นของออยเลอร์นั้นนำเสนอเพื่อใช้กับ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รู้แน่นอน ไม่ได้ใช้สำหรับการแทนฟังก์ชันทั่วไป ดังนั้นจึงตั้งชื่อเป็นเกียรติแก่ฟูรีเย ผู้ซึ่งให้กำเนิดแนวความคิด

• คุณสมบัติการลู่เข้า : โดยทั่วไปเรารับรู้ว่า ดีริชเลต์ เป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูรีเย อย่างแม่นยำทางคณิตศาสตร์ ในปีค.ศ. 1829 จึงอาจถือว่า เขาเป็นบุคคลแรกที่ยืนยันความถูกต้องของแนวความคิดของฟูรีเย

ฌอง กาสตง ดาบูซ์ (Jean Gaston Darboux) ในการรวบรวมผลงานของฟูรีเย ในปีค.ศ. 1888 เขาได้พบต้นฉบับบทความของฟูรีเยปีค.ศ. 1807 ซึ่งสาบสูญไปหลังจากที่ฟูรีเยเสียชีวิตลงในปีค.ศ. 1830 ที่ห้องสมุดของ École Nationale des Ponts et Chaussées ในกรุงปารีส ซึ่งดาบูซ์ได้ชี้ว่าในบทความนั้น ฟูรีเยได้พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรม และวิธีการที่ฟูรีเยใช้จริงๆแล้วก็ไม่แตกต่างจากที่ ดีริชเลต์ ใช้ในการพิสูจน์ต่อมาในภายหลัง [2]